Vektorintegrasie met toepassings op stogastiese prosesse in Riesz ruimtes
Abstract
Daar is al 'n verskeidenheid van teorieë ontwikkel om die abstrakte Lebesgue integraal
te veralgemeen vir funksies of mate wat vektorwaardig is. Ons bestudeer drie
van die mees suksesvolle integrasie teorieë, die van Bochner, Bartle en Dobrakov,
op 'n eenvormige wyse. Die verskillende integrale word met mekaar vergelyk en
ons gebruik die Dobrakov integraal om 'n stogastiese integraal in 'n Riesz ruimte
te definieer.
In hoofstuk 1 definieer en bestudeer ons vektorwaardige mate. Hier neem mate
hul waardes in 'n Banach ruimte aan. Nie alleen word vektorintegrale ten opsigte
van vektormate gedefinieer nie, maar ons kan bewys dat die integrale self ook
vektormate is. Die resultate wat ons in hierdie hoofstuk aflei stel ons in staat
om konklusies oor vektorintegrale te maak. So sien ons byvoorbeeld in gevolg
1.5.14 op p.54 dat as 'n ry van σ-additiewe vektormate op 'n σ-algebra gelykmatig
konvergeer, dan is die limiet weer 'n σ-additiewe vektormaat. Hierdie resultaat is
belangrik vir die teorie van die Dobrakov integraal.
Hoofstuk 2 is 'n uitbreiding van hoofstuk 1 en daarin kyk ons na mate wat
hul waardes in 'n ruimte van begrensde lineêre operatore tussen Banach ruimtes
aanneem. Hierdie ruimte is natuurlik ook self 'n Banach ruimte, maar hier werk
ons met die konvergensie van rye in die sterk operator topologie instede van die
norm topologie. Die gevolg is dat σ-additiwiteit 'n verskillende betekenis het vir
operatormate as vir vektormate.
Geassosieer met 'n vektormaat of operatormaat is daar die bykomende begrippe
van die variasie, skalaarsemivariasie en semivariasie van die maat. Hierdie versamelingsfunksies
is almal submate. In hoofstuk 3 kyk ons eerstens na die verskillende
maniere waarop 'n ry funksies ten opsigte van 'n submaat kan konvergeer. Tweedens
kyk ons na verskillende tipes trapfunksies. Rye van hierdie verskillende tipes
trapfunksies kan dan op een van die verskillende wyses na 'n funksie konvergeer.
So 'n limietfunksie word gedefinieer as 'n meetbare funksie. Afhangende van die
aard van die trapfunksies en die aard van konvergensie kan verskillende meetbare
funksies sekere verhoudings met mekaar hê. Die hoofdoel van hoofstuk 3 is dan om
hierdie verhoudings te ondersoek. Ons ondersoek ook onder watter voorwaardes
'n funksie meetbaar is. Een van die resultate wat uit hierdie afdeling volg is stelling
3.2.22 op p.84, 'n meer algemene weergawe van Pettis se meetbaarheidstelling
(stelling 4.1.5 op p.89). In hoofstuk 3 het ons klasse van meetbare funksies gekry waarvoor ons verskillende
vektorintegrale kan definieer. In hoofstukke 4, 5 en 6 bestudeer ons die
integrasieteorieë van Bochner, Bartle en Dobrakov. Die Bochner integraal word vir
meetbare vektorwaardige funksies met betrekking tot 'n skalaarmaat gedefinieer.
Ons sien dat baie van die eienskappe van die abstrakte Lebesgue integraal ook
oordra na die Bochner integraal. So kry ons byvoorbeeld 'n gedomineerde konvergensiestelling vir die Bochner integraal. Vir die geval waar ons 'n eindige maat
het, gebruik ons Hille se stelling (stelling 4.2.9 op p.99) om 'n weergawe van die
middelwaarde stelling vir die Bochner integraal af te lei.
Om die integraal vir vektorwaardige funksies ten opsigte van 'n vektorwaardige
maat te definieer is dit nodig dat daar een of ander produk op die twee vektorruimtes
bestaan. Bartle beskou die geval waar daar 'n bilineêre afbeelding tussen
Banach ruimtes bestaan. In hoofstuk 5 definieer ons dan die Bartle integraal vir
funksies wat hul waardes in die eerste Banach ruimte aanneem ten opsigte van 'n
maat wat sy waardes in die tweede Banach ruimte aanneem. Alhoewel Lebesgue se
konvergensiestelling nie vir die Bartle integraal geld nie, kan ons Vitali se stelling
(stelling 5.2.10 op p.113) gebruik om 'n tipe begrensde konvergensiestelling (stelling
5.2.14 op p.115) af te lei. Die bilineêre afbeelding van Bartle definieer begrensde lineêre operatore op Banach
ruimtes. Enige van die vektormate waarmee Bartle werk is dus ook 'n operatormaat.
Die σ-additiwiteit van 'n operatormaat is egter 'n meer algemene konsep
as die σ-additiwiteit van 'n vektormaat. In hoofstuk 6 ondersoek ons die Dobrakov
integraal. Dobrakov ontwikkel sy integrasieteorie vir vektorwaardige funksies met
betrekking tot 'n σ-additiewe operatormaat. Een van die mooi resultate wat ons
vir die Dobrakov integraal kry, is 'n stelling oor die omruil van die integraal en die
limiet (stelling 6.3.14 op p.146). Vir al drie integrasieteorieë wat ons bestudeer word 'n integreerbare funksie
gedefinieer as 'n meetbare funksie wat aan sekere voorwaardes voldoen. In hoofstuk
7 gebruik ons die resultate wat ons in hoofstuk 3 gekry het om die klasse
van integreerbare funksies vir die verskillende vektorintegrale te vergelyk. Al drie
integrale veralgemeen die Lebesgue integraal. Verder sluit die Dobrakov integraal
die Bochner integraal en die σ-additiewe geval van die Bartle integraal in. In die
belangrike geval waar die semivariasie van 'n σ-additiewe operatormaat, eindig en
kontinu is, stem die Bartle en Dobrakov integrale presies ooreen.
Die studie van stogastiese prossese in Riesz ruimtes benodig 'n integraal waar
die integrand 'n stogastiese proses is, en die maat gelewer word deur 'n stygende
stogastiese proses. Beide die integrand en die maat is dus vektorwaardig. In hoofstuk
8 gebruik ons die teorie van Dobrakov om so 'n integraal te definieer.